Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы
Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Объём и площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
Равные грани-многоугольники призмы лежат в параллельных плоскостях и называются основаниями призмы, а остальные грани-параллелограммы — боковыми гранями. Ребра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называют диагональю призмы (рис. 1). Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 2 показаны два диагональных сечения призмы.
Площадь боковой поверхности правильной призмы, онлайн расчет
Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, онлайн расчет
Призма представляет собой две конгруэнтные n-угольные грани, лежащие в параллельных плоскостях и n-количество граней-параллелограммов, которые расположены на сторонах n-угольника. Простыми словами, если в основании призмы лежит квадрат, то фигура превращается в куб. Если пентагон, то в пятиугольную призму, если гексагон — в шестиугольную. Если же количество сторон многоугольника, лежащего в основании, стремится к бесконечности, то фундамент призмы превращается в круг, а сама фигура трансформируется в цилиндр. Таким образом, призма — это частный случай некругового цилиндра.
Призмы имеют большое распространение в реальной жизни. В отличие от конусов или тетраэдров, призматическую форму имеет огромное количество предметов, вещей или деталей. К примеру, кирпич — это призма, кирпичное помещение с параллельными стенами — тоже призма, любое здание, состоящее из этих помещений — призматическая фигура. И даже мебель в этих зданиях имеет геометрию призмы. Наш мир состоит из разных призм, поэтому формула определения поверхности фигуры может вам понадобиться во многих жизненных ситуациях.
Площадь поверхности призмы
Площадь правильной призматической фигуры — это сумма всех площадей боковых поверхностей, а также нижнего и верхнего оснований. Площадь боковой поверхности находится как сумма площадей параллелограммов:
где n — количество граней, a — сторона параллелограмма, а h — его высота.
Площадь оснований вычисляется по формулам расчета площадей соответствующих многоугольников. К примеру, если в основании призмы лежит равносторонний треугольник, то
а если правильный шестиугольник, то
Так как призма имеет два одинаковых основания, то формула общей площади поверхности фигуры принимает вид:
Если вам необходимо найти площадь поверхности правильной призматической фигуры, то воспользуйтесь нашим онлайн-калькулятором. Для вычисления вам понадобится ввести три переменных:
Рассмотрим примеры использования данной формулы в реальной жизни.
Площадь основания призмы правильной
Пожалуй, самой простой задачей при работе с призмами является проблема нахождения площади основания правильной фигуры. Поскольку оно образовано n-угольником, у которого все углы и длины сторон являются одинаковыми, то всегда можно разделить его на одинаковые треугольники, у которых известны углы и стороны. Суммарная площадь треугольников будет площадью n-угольника.
Еще один способ определить часть площади поверхности призмы (основание) заключается в использовании известной формулы. Она имеет следующий вид:
S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)
То есть площадь S n n-угольника однозначно определяется исходя из знания длины его стороны a. Некоторую сложность при расчете по формуле может составить вычисление котангенса, особенно когда n>4 (для n≤4 значения котангенса — это табличные данные). Для определения этой тригонометрической функции рекомендуется воспользоваться калькулятором.
При постановке геометрической задачи следует быть внимательным, поскольку может потребоваться найти площадь оснований призмы. Тогда полученное по формуле значение следует умножить на два.
Когда давалось геометрическое определение рассматриваемой фигуры, было показано, что она состоит из двух оснований и некоторого числа параллелограммов. Это число в точности равно количеству сторон многоугольника в основании. Площадь поверхности рассматриваемой фигуры принято записывать следующей формулой:
S = 2*So + Sb
Где So – основания площадь, Sb – боковой поверхности. Поскольку последняя состоит из n параллелограммов, то ее величина равна сумме их площадей.
В случае правильной прямой призмы боковая поверхность будет образована прямоугольниками со сторонами a и h, где a – длина стороны основания, h – высота призмы. Для случая n правильного угольника, получаем формулу для площади Stot призмы:
Stot = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*a*h
Ниже приведен рисунок, демонстрирующий развертку шестиугольной призмы.
Задача с правильной фигурой
Рассмотрев вопрос нахождения объема призмы четырехугольной с точки зрения теории, применим полученные знания на практике.
Известно, что правильный параллелепипед имеет длину диагонали основания, равную 12 см. Длина диагонали его боковой стороны составляет 20 см. Необходимо рассчитать объем параллелепипеда.
Обозначим диагональ основания символом da, а диагональ боковой грани — символом db. Для диагонали da справедливы выражения:
Что касается величины db, то она является диагональю прямоугольника со сторонами a и b. Для нее можно записать следующие равенства:
db2 = a2 + b2 =>
b = √(db2 — a2)
Подставляя в последнее равенство найденное выражение для a, получим:
b = √(db2 — da2/2)
Теперь можно подставить полученные формулы в выражение для объема правильной фигуры:
V = a2*b = da2/2*√(db2 — da2/2)
Заменив da и db числами из условия задачи, приходим к ответу: V ≈ 1304 см3.
Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.
Решение .
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Призма является геометрической объемной фигурой, характеристики и свойства которой изучают в старших классах школ. Как правило, при ее изучении рассматривают такие величины, как объем и площадь поверхности. В данной же статье раскроем несколько иной вопрос: приведем методику определения длины диагоналей призмы на примере четырехугольной фигуры.
Она имеет в основании фигуру, имеющую три вершины, то есть треугольник. Он, как известно, бывает разным. Если то достаточно вспомнить, что его площадь определяется половиной произведения катетов.
Математическая запись выглядит так: S = ½ ав.
Чтобы узнать площадь основания в общем виде, пригодятся формулы: Герона и та, в которой берется половина стороны на высоту, проведенную к ней.
Первая формула должна быть записана так: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). В этой записи присутствует полупериметр (р), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.
Вторая: S = ½ н а * а.
Если требуется узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, то треугольник оказывается равносторонним. Для него существует своя формула: S = ¼ а 2 * √3.
В его основании фигура с тремя вершинами, то есть треугольник. Он известен тем, что отличается. Если треугольник прямоугольный, то достаточно помнить, что его площадь определяется половиной произведения ножек.
Математическая запись выглядит так: S = ½ ср.
Для определения площади основания треугольной призмы в общем виде пригодятся формулы: Цапля и та, у которой половина стороны поднята на начерченную на ней высоту.
Первую формулу нужно записать так: S = √ (p (pa) (pc) (pc)). В этой записи есть полупериметр (p), то есть сумма трех сторон, разделенная на два.
Во-вторых: S = ½ на * a.
Если вы хотите узнать площадь основания треугольной призмы, которая является правильной, треугольник получается равносторонним. Для этого есть формула: S = ¼ a2 * √3.
Четырехугольная призма
Его основание — один из известных четырехугольников. Это может быть прямоугольник или квадрат, параллелепипед или ромб. В любом случае для расчета площади основания призмы вам понадобится другая формула.
Если основание — прямоугольник, его площадь определяется следующим образом: S = ab, где a, b — стороны прямоугольника.
При работе с четырехугольной призмой площадь основания обычной призмы рассчитывается по формуле для квадрата. Потому что именно он оказывается внизу. S = a2.
Если основание — параллелепипед, потребуется следующее равенство: S = a * on. Бывает, что задаются сторона параллелепипеда и один из углов. Таким образом, для вычисления высоты потребуется дополнительная формула: at = в * sin A. Кроме того, угол A примыкает к стороне «в», а высота противоположна этому углу.
Если в основании призмы находится ромб, для определения его площади потребуется та же формула, что и для параллелограмма (поскольку это его частный случай). Но вы также можете использовать это: S = ½ d1 d2. Здесь d1 и d2 — две диагонали ромба.
Если боковые ребра призмы находятся под некоторым углом к основанию, то призма является наклонной (Рис.2.1).
Используя правила параллельного проектирования, изображение призмы можно построить следующим образом. Сначала строится одно из оснований, т.е. многоугольник, а затем проводят боковые ребра из каждой вершины основания, которые параллельны и равны между собой. Затем концы этих отрезков соединяются и строится другое основание призмы.
Для того, чтобы построить сечение призмы плоскостью, сначала задают прямую g в плоскости одного из оснований, которая называется следом. Затем проводят через заданную точку В прямую, которая находится в плоскости грани, и соединяют ее с заданным следом в точке Е. Отрезок АС на рассматриваемой грани есть пересечение этой грани с секущей плоскостью.
Если грань, которая содержит точку В, параллельна следу, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному заданному следу и проходящему через точку В.
Таким образом, можно провести отрезки на всех гранях призмы и получить сечение плоскостью с заданным следом.
Полная классификация призм
С этой классификацией важно разобраться, чтобы впоследствии не путаться в терминологии и использовать правильные формулы для вычисления, например, площади поверхности или объема фигур.
Для любой призмы произвольной формы можно выделить 4 признака, которые ее будут характеризовать. Перечислим их:
- По количеству углов многоугольника в основании: треугольная, пятиугольная, восьмиугольная и так далее.
- По типу многоугольника. Он может быть правильным или неправильным. Например, прямоугольный треугольник является неправильным, а равносторонний — правильным.
- По типу выпуклости многоугольника. Он может быть вогнутым или выпуклым. Чаще всего встречаются выпуклые призмы.
- По углам между основаниями и боковыми параллелограммами. Если все эти углы равны 90o, то говорят о прямой призме, если не все из них являются прямыми, то такую фигуру называют косоугольной.
Из всех этих пунктов хотелось бы остановиться подробнее на последнем. Прямая призма также называется прямоугольной. Связано это с тем, что для нее параллелограммы являются прямоугольниками в общем случае (в некоторых случаях они могут быть квадратами).
Определите полную поверхность правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диагональ боковой грани равна 4 см.
Решение .
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .